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Ch.15 Animation InterPolation

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Ch.13 Image Processing

Interpolation

Problems

New Problem : Curve by Distance

Interpolation vs Approximation

Interior Control Points

Just Beginning and Ending tangents

Lagrange Polynomial :: Representitive

ADVANTAGE

DISADVANTAGE

Universial Polynomial Curve

Matrices

Motion Control

Reparameterizing by Arc Length

SuperSampling

Quadrature

Interpolation

모션캡쳐나 Keyframe 사이의 영상을 만들기 위해 필요한 기술

Problems

키프레임이 되는 포인트를 몇개 주어진다. 이 주어진 keyframe을 지나는 smooth한 경로를 만들어야 한다!

따라서 목적은 오브젝트의 포지션을 키프레임의 포지션에 맞게 중간 경로를 부드럽게 만들어줘야 한다.

Constraints

비행기가 선회한다고 가정하자.

시작과 끝 속도가 0일 경우, 특정 시점까지는 가속, 이후에는 감속이 들어갈 것이다.

부드럽게 가는 것만 중요한 것이 아닌 속력까지 일치해야한다.

New Problem : Curve by Distance

p = P(u)일때, u는 애니메이션의 입장에서는 큰 의미가 없다. NURBS로 구현했다고 생각해보자. u가 0.5일때 반드시 곡선의 중간지점을 의미하지 않는다.

따라서 우리는 거리에 대한 u값을 계산할 수 있어야 한다.

u = U(s)

또한 속도 또한 제어해야하기 때문에 특정 시간 t에 대한 위치 s를 통해 구할 수 있다.

s=S(t)

s =\int vt \ dt

즉, 애니메이션의 Interpolation은 시공간에 대한 식으로 표현할 수 있어야 한다.

p=P(U(S(t)))

어느 타이밍(t)에 → 어느 거리(s)에 있어야 하며 → 이는 보간식 파라미터 u로 나타낼 수 있어야 한다.

Interpolation vs Approximation

그렇다면 컴퓨터 애니메이션으로는 앞서 배운 두가지 방식 중 어느 것이 더 편할까?

•

키 프레임은 내가 이 장면에서 캐릭터나 오브젝트가 어떻게 있어야 하는지를  알려주는 방식이다. → 해당 포인트는 반드시 지나야 함!

따라서 Interpolation이 더 사용하기 편할 것이다.

Interpolation

Generation :: 생성 방법

•

Linear Interpolation 

◦

직선으로 보간 하므로 식이 매우 쉽지만, 점과 점 사이의 속도가 불연속적이라 각진 애니메이션이 생긴다.

•

Non-Linaer Interpolation

◦

애니메이션이 부드럽지만 식이 어려워진다.

◦

일부 곡선을 연결하는 포인트에서는 

◦

Ch.7 Beziers Curves 

•

Spline Interplation

◦

Ch.9 B-Spline Curves 

Continuity :: 연속 가능성

Control :: 편집 가능성

•

Local Control

◦

특정 포인트를 변경했을 때 해당 주변만 변경

•

Global Control

◦

특정 포인트를 변경했을 때 전체적으로 변경됨. 전체 곡선이 변화하므로 자연스러운 움직임을 유지할 수 있다.

위 조합을 고려해 우리는 다음과 같은 방식으로 Interpolation을 구현할 수 있다.

What to give

Just the points

Tangents

Interior Control Points

Just Beginning and Ending tangents

이외에도 여러 방법을 선택할 수 있다.

Lagrange Polynomial :: Representitive

k개의 점이 있다고 칠 때

L(x)=\sum^{k}_{j=0}y_j \ \prod_{0\leq m <k,m\neq j}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}

ADVANTAGE

점이 많이 있을 때에도 보간을 아주 쉽게 할 수 있다.

DISADVANTAGE

안쪽 점에 비해 바깥점에 대해서는 변화값이 심하게 튈 수 있다.

Universial Polynomial Curve

P = U^T M B = FB = U^T A

Matrices

P = \begin{bmatrix}u^3 & u^2 & u & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -0.5 & 1.5 & -1.5 & 0.5 \\ 1 & -2.5 & 2 & -0.5 \\ -0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_0\\ P_1 \\ P_2 \\ P_3\end{bmatrix}

Motion Control

Reparameterizing by Arc Length

비교적 간단한 곡선에 대해서는 길이를 쉽게 구할 수 있다.

P(u)=au^3+bu^2+cu+d \\s=\int^{u_2}_{u_1}|\frac{dP}{du}| \ du \\\frac{dP}{du} = \begin{pmatrix} \frac{dx(u)}{du} & \frac{dy(u)}{du} & \frac{dz(u)}{du}\end{pmatrix}

하지만 복잡한 식일 수록 계산이 복잡해지고 적분가능성도 점점 줄어들기 때문에 모든 식에 대해 analytic하게 Arc Length를 계산할 수는 없다.

SuperSampling

점과 점 사이에 작은 포인트로 균일하게 나눈 후, 해당 포인트간의 직선거리를 샘플링하면 Arc Length에 근사한 값을 알 수 있다!

다만 샘플링 간격을 잘 설정해야한다. 너무 적게 되면 원래 모양을 표현할 수 없으며, 너무 많이 샘플링하면

즉, 테스트를 거쳐서 subdivide를 거쳐야 하므로 귀찮아지게된다.

Quadrature

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