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Ch.11 Surfaces

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2023/10/03

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Ch.9 B-Spline Curves

Today’s MAIN QUEST

Cubic Bezier Patch

Subdivision Surface

Today’s MAIN QUEST

지금까지 정의한 곡선을 활용하고, 차원을 확장하여 곡면을 정의하자.

Surface

P(u) = \sum^{n}_{k=0}p_kB_{k,n}(u)

P(u,v) =\sum^{m}_{j=0} \sum^{n}_{k=0}p_{j,k}B_{j,m}(v)B_{k,n}(u)

v의 곡선이 만들어내는 점을 Control Point로 하는 새로운 곡선.

Strategy

위 곡면이 어떤 곡면인지 맞춰보자.

양 끝 Control Point에 곡선의 끝이 연결되어있기 때문에 Bezier Curve임을 알 수 있다.

혹은 NURB거나.

양 끝 점에 연결되어있지 않다면 Uniform B-Spline일 것이다.

Control Patch

중요한 점은 모든 u와 v값에 대해 어느 한 변수의 값이 정해질 경우, 남은 값에 대해서 Bezier Curve가 성립한다는 점이다.

즉, 모든 Subsection이 베지어 커브다.

Control Point들의 조합으로 표현되는 3차원 좌표 값을 Control Patch라고 한다.

Cubic Bezier Patch

P_{ij}

에 대해 4*4개의 Bezier Patch는 컨트롤 포인트를 가진다.

j번째 Control Point

P_{0j},P_{1j},P_{2j},P_{3j}

는 다음과 같은 식을 따른다. j가 고정되고, i가 바뀐다.

B_i(u)=nC_i(1-u)^iu^{n-i}

P(u) = \sum^{}_{i}P_{ij}B_i(u)

P(u,v) =\sum^{}_{ij}B_{i}(u)(p_{ij}B_{j}(v))

그럼 다음과 같은 식이 나타난다. j가 고정되었을때, 고정된 j 값에 대한 새로운 컨트롤 포인트 i를 만들어내고, 그 컨트롤 포인트를 활용해 다시 u에 대해 계산한다.

이런 방식을 Bicubic Tensor Product Patch라고 한다.

•

Bezier의 경우에 4개의 코너 컨트롤 포인트를 반드시 지난다.

•

중앙의 4개의 컨트롤 포인트는 중간에 있는 모양만 바꾸지 가장자리의 모양을 바꾸지 않는다. 가장자리는 가장자리의 포인트로 변화시킬 수 있다.

◦

중간포인트로 전반적인 커프의 곡률을 정하고, 가장자리로 곡면의 모양을 정한다.

Continuity

Bezier Patch는 C2 Continuity를 보장하기 매우 어렵다.

Drawing

Basis Function을 사용해서 Bezier Surface Patch를 생성할 수 있다. P가 제어점의 행렬이라고 가정하자.

P = \begin{bmatrix}P_{ij}\end{bmatrix}

이제 대응되는 Bezier Surface Patch는 다음과 같다.

P(u) = U \sdot M^B \sdot M_{geom}\\ P(u) = \begin{bmatrix}u^3\ u^2 \ u \ 1\end{bmatrix}M\begin{bmatrix}P_0\\ P_1 \\ P_2 \\ P_3\end{bmatrix}

P(u,v) = U \sdot M^B \sdot \begin{bmatrix}P_0(v), P_1(v),P_2(v),P_3(v)\end{bmatrix}^T

P(u,v) = U \sdot M^B \sdot (V \sdot M^B \sdot Q)^T

P(u,v) =\sum^{m}_{j=0} \sum^{n}_{k=0}p_{j,k}B_{j,m}(v)B_{k,n}(u) = \bold{U}\bold{M}_B\bold{P}_{ij}\bold{M}^T_B\bold{V}^T

Subdivision Surface

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