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10L : Projection II

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2023/04/27

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Problem 1

Solution

Position을 적용한 상태에서 Projection행렬을 구하는 문제.

•

카메라의 포지션 Pcam(x,y,z)P_{\text{cam}}(x,y,z)Pcam​(x,y,z)

•

카메라의 정규화된 방향 Rcam(0,0,(k−z)∣k−z∣)R_{\text{cam}}(0,0,\cfrac{(k-z)}{|k-z|})Rcam​(0,0,∣k−z∣(k−z)​)

•

투영면 Pn(nx,ny,k)P_{n}(n_x,n_y,k)Pn​(nx​,ny​,k)

어떤 점

P(x',y',z')

이 있다고 가정해보자. 이를 어떻게 표현할 수 있는가?

COP로부터 투영면까지의 거리는

(k-z)

이다. 삼각형의 닮은 꼴의 성질을 이용하여 다음 비례식을 세울 수 있다.

-(z'-z) : k-z = y'-y : n_y-y

n_y-y = \cfrac{(k-z)\sdot(y'-y)}{z-z'}

n_y = y + \cfrac{(k-z)\sdot(y'-y)}{z-z'}, \ \ \ n_x = x + \cfrac{(k-z)\sdot(x'-x)}{z-z'}

다음과 같은 식이 도출된다.

투영면의 거리를

d = k-z

로 축약한다.

n_y = y + \cfrac{d\sdot(y'-y)}{z-z'}, \ \ \ n_x = x + \cfrac{d\sdot(x'-x)}{z-z'}

\begin{bmatrix} k-z &0&0&(k-z)\sdot x \\ 0&k-z&0&(k-z)\sdot y \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&-1&-z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{bmatrix}

이를 행렬로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이는 이동 행렬로

x,y,z

만큼 움직인 다음, 투영행렬을 적용한 것과 같은 식이다

이동 행렬과 투영 행렬을 나눠서 계산한 후 둘을 곱하면 문제를 더 편하게 풀 수 있다!

Problem 2

Solution

\begin{bmatrix} k &0&0&0 \\ 0&k&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&-1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{bmatrix}

Problem 3

Solution

1.

C의 View Transform 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

C = T*\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}

2.

A를 B와 C의 조합으로 표시하시오.

?????????????????????????

Problem 4

Solution

d의 값이 작아질 수록 카메라에 맺히는 상이 더 커진다. 따라서 min와 max를 변경한다.

Problem 5

Solution

z축의 방향을 잘 설정하자.

이건 존나 어렵고 귀찮으니 나중에 하지.

\theta = 90\degree,\cfrac{\theta}{2} = 45\degree

이다. 투영평면의 범위가 x,y모두 [-n,n]로 가정했을 때(FOV가 같으므로 범위도 같음.) d는 n이 된다.

카메라는 +z방향을 바라보고 있으므로, 오른손좌표계를 기준으로 했을 때 밖으로 나오는 형태다.

x와 y의 값이 최소 -10 최대 10까지 분포되어있으므로, 이 사이의 모든 점이 투영방정식에 반영되어야 한다.

분포되는 영역이 [-10,10]까지의 정육면체의 영역이므로, 투영평면은 적어도

(-10,-10,10)

부터

(10,10,10)

까지의 평면을 커버할 수 있으면 된다.

카메라를 z-로 들어가는 방향으로 먼저 계산한 후, 좌표를 대칭시켜 실제 좌표를 구하도록 한다.

카메라 위치를

P_{\text cam}(x,y,z)

라고 하자. 이때 투영평면의 한점의 위치는

(n_x-x,n_y-y,n-z)

이다.

이제

(-10,-10,-10)

과

(10,10,-10)

을 대입시켜 실제 위치를 구하자.

n_x-x : 10-x = n : -10-z

n_x-x = \cfrac{(10-x) \sdot (n)}{-10-z}

이거 내일 다시….

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