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Jacobian Matrix

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Definition

n차원 벡터 x∈Rnx \in \R ^ n를 입력으로 받고 m차원 벡터 f(x)∈Rmf(x) \in \R ^ m를 출력으로 생성하는 벡터 함수 f:Rn→Rmf:\R^n \rightarrow \R^m가 있을 때, 함수의 1차 편미분이 Rn\R^n의 실수 벡터 공간에서 존재하는 경우, m×nm\times n행렬로 나타낼 수 있는 행렬이다.
(∂f1∂x1…∂f1∂x6⋮⋱∂f6∂x1…∂f6∂x6)\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_6} \\ \vdots & \ddots \\ \frac{\partial f_6}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_6}{\partial x_6}\end{pmatrix}
행렬의 원소는 모두 1차 미분 계수로 구성되어있음을 주목하라.
즉, 자코비안 행렬은 ‘미소영역에서 비선형변환을 선형변환으로 근사’하는 행렬이다.

Chain Rule

자코비안 행렬을 이해하기 앞서 가장 핵심적인 내용, Chain Rule에 대해 짧게 짚고 넘어가자.
이변수 함수를 생각해보자.
z=f(x,y)z= f(x,y)
x=g(t),y=h(t)x=g(t),y=h(t)
위 세 함수가 모두 미분 가능할 경우 다음이 성립된다.
dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
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